Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng x + 2y - 5z - 3 = 0.

* Hướng dẫn giải

Gọi \(H\left( {{x_H};{y_H};{z_H}} \right)\) là hình chiếu của A lên \(\left( Q \right):x + 2y - 5z - 3 = 0\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} AH \bot \left( Q \right)\\ H \in \left( Q \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AH} = k.\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = k\left( {1;2; - 5} \right)\\ {x_H} + 2{y_H} - 5{z_H} - 3 = 0 \end{array} \right.\\ \overrightarrow {AH} = \left( {{x_H} - 2;{y_H} - 1} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x_H} - 2}}{1} = \frac{{{y_H} - 1}}{2} = \frac{{{z_H} - 1}}{{ - 5}} = k\\ {x_H} + 2{y_H} - 5{z_H} - 3 = 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {x_H} = k + 2;{y_H} = 2k + 1;{z_H} = - 5k + 1\\ \Rightarrow \left( {k + 2} \right) + 2\left( {2k + 1} \right) - 5\left( { - 5k + 1} \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow k = \frac{2}{{15}} \Rightarrow H\left( {\frac{{23}}{{15}};\frac{{19}}{{15}};\frac{1}{3}} \right) \end{array}\)

Mặt phẳng (P) là mặt phẳng (ABH) có dạng: ax + by + cz + d = 0. Từ đó suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l} 2a + b + c + d = 0\\ 3a + 2b + 2c + d = 0\\ \frac{{13a}}{{15}} + \frac{{19b}}{{15}} + \frac{1}{3}c + 7 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - d\\ b = \frac{{6d}}{7}\\ c = \frac{d}{7} \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( P \right):7x - 6y - z - 7 = 0\)