Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng . Tính độ dài đoạn thẳng OM, biết rằng điểm M thuộc (P) sao cho đạt giá trị nhỏ nhất?

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in \left( P \right)\) thì ta có:

\(\begin{array}{l} {x_0} + {y_0} + {z_0} = 0 \Rightarrow {z_0} = {x_0} - {y_0}\\ \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} = {\left( {{x_0} + 3} \right)^2} + {\left( {{y_0} - 5} \right)^2} + {\left( {{z_0} + 5} \right)^2} + \\ {\left( {{x_0} - 5} \right)^2} + {\left( {{y_0} + 3} \right)^2} + {\left( {{z_0} - 7} \right)^2}\\ = 2\left[ {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{y_0} - 1} \right)}^2}} \right] + 2{\left( {{z_0} - 1} \right)^2} + 136\\ \ge {\left( {{x_0} - 1 + {y_0} - 1} \right)^2} + 2{\left( {{z_0} - 1} \right)^2} + 136\\ = {\left( {2 + {z_0}} \right)^2} + 2{\left( {{z_0} - 1} \right)^2} + 136 = 3z_0^2 + 142 \ge 142 \end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\({x_0} = {y_0};{z_0} = 0 \Rightarrow {x_0} = {y_0} = {z_0} = 0\)

Do đó, \(M \equiv O\).