Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm và đường thẳng . Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoả...

* Hướng dẫn giải

Giả sử đường thẳng cần tìm là d' đi qua M:

\(\begin{array}{l} d':\frac{{x + 2}}{a} = \frac{{y + 2}}{b} = \frac{{z - 1}}{c}\\ d \bot d' \Leftrightarrow 2a + 2b - c = 0 \Leftrightarrow c = 2a + 2b \end{array}\)

Gọi H là hình chiếu của A lên d'.

\(\begin{array}{l} H \in d' \Rightarrow H\left( {ah - 2;bh - 2;ch + 1} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {ah - 3;bh - 4;ch + 4} \right)\\ AH \bot d' \Leftrightarrow \left( {ah - 3} \right).a + \left( {bh - 4} \right).b + \left( {ch + 4} \right).c = 0\\ \Leftrightarrow h = \frac{{3a + 4b - 4c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \end{array}\)

\( \Rightarrow AH = \sqrt {41 - 2.h\left( {3a + 4b - 4c} \right) + {h^2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AH = \sqrt {41 - \frac{{{{\left( {3a + 4b - 4c} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \\ \Rightarrow AH = \sqrt {41 - \frac{{{{\left( {3a + 4b - 4\left( {2a + 2b} \right)} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {{\left( {2a + 2b} \right)}^2}}}} \\ \Rightarrow AH = \sqrt {41 - \frac{{25{a^2} + 40ab + 16{b^2}}}{{5{a^2} + 5{b^2} + 8ab}}} \\ \Rightarrow AH \ge \sqrt {41 - \frac{{5\left( {5{a^2} + 5{b^2} + 8ab} \right)}}{{5{a^2} + 5{b^2} + 8ab}}} \\ \Rightarrow AH \ge 6 \end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi b = 0. Do đó, ta có:

\(d':\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2} \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {1;0;2} \right)\)