Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm và đường thẳng . Tìm tọa độ điểm sao cho diện tích tam giác ABN nhỏ nhất.

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l} N \in d \Rightarrow N\left( {2a + 1; - a - 2;2a + 3} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \left( {2a + 1; - a - 3;2a + 3} \right);\\ \overrightarrow {BN} = \left( {2a - 1; - a - 4;2a + 1} \right)\\ \Rightarrow S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {NA} ;\overrightarrow {NB} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\left| {\left( {4a + 9; - 4; - 4a - 7} \right)} \right|\\ = \frac{1}{2}.\sqrt {{{\left( {4a + 9} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 4a - 7} \right)}^2}} \\ = \frac{1}{2}\sqrt {32{a^2} + 128a + 146} = \frac{1}{2}\sqrt {2{{\left( {4a + 8} \right)}^2} + 18} \ge \frac{1}{2}\sqrt {18} \end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a = - 2 \Rightarrow N\left( { - 3;0; - 1} \right)\)