Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng , điểm A(2;5;3). Phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất là

* Hướng dẫn giải

Theo tính chất đường xiên đường vuông góc dễ thấy:

 \({d_{\left( {A,\left( P \right)} \right)}} \le {d_{\left( {A,\left( d \right)} \right)}} = const.\)

Điều này xảy ra khi: H(a;b;c) là hình chiếu của A lên (d) cũng là hình chiếu của A lên (P). Do đó, ta có:

\(\begin{array}{l} H \in \left( d \right) \Rightarrow H\left( {2b + 1;b;2b + 2} \right)\\ AH \bot \left( d \right)\\ \Rightarrow 2.\left( {2b + 1 - 2} \right) + 1.\left( {b - 5} \right) + 2\left( {2b + 2 - 3} \right) = 0\\ \Rightarrow b = \frac{9}{9} = 1 \Rightarrow H\left( {3;1;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {1; - 4;1} \right)\\ \Rightarrow \left( P \right):\left( {x - 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0\\ \Rightarrow \left( P \right):x - 4y + z - 3 = 0 \end{array}\)