Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm và D(-1;1;2). Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là:

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {BC} = ( - 3;0;1)\\ \overrightarrow {BC} = ( - 4; - 1;2) \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)\)

Mặt phẳng (BCD) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1;2;3)\) và đi qua điểm C(0;2;1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:    

x + 2(y - 2) + 3(z - 1) = 0

⇔ x + 2y + 3z - 7 = 0

\(d(A;(BCD)) = \sqrt {14} .\)

Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;-2) và bán kính R (R > 0)

Do (S) tiếp xúc với (BCD) \( \Rightarrow R = d(A;(BCD)) = \sqrt {14} .\)

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14\).