Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và hai đường thẳng , . Phương trình nào dưới đâu là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với (S), song song với d và ?

* Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(-1;1;-2), bán kính \(R = \sqrt 2 .\)

Đường thẳng d có vec-tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = (1;2; - 1);\) đường thẳng \(\Delta\) có vec-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = (1;1; - 1)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 1;0; - 1).\)

Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} (P){\rm{//d}}\\ (P){\rm{//}}\Delta \end{array} \right. \Rightarrow {n_{(P)}} = (1;0;1).\)

Suy ra mặt phẳng (P) có phương trình dạng x + z + m = 0.

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 1 - 2 + m} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 5\\ m = 1 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} (P):x + z + 5 = 0\\ (P):x + z + 1 = 0 \end{array} \right.. \end{array}\)