Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex, y = 2, x = 0, x = 1.

* Hướng dẫn giải

Gọi S là diện tích cần tìm. Ta có \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{{\rm{e}}^x} - 2} \right|} \,{\rm{d}}x\).

Xét \({{\rm{e}}^x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \ln 2\).

Bảng xét dấu \({{\rm{e}}^x} - 2\):

Ta có

\(S = \int\limits_0^1 {\left| {{{\rm{e}}^x} - 2} \right|{\rm{d}}x} \\= - \int\limits_0^{\ln 2} {\left( {{{\rm{e}}^x} - 2} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{\ln 2}^1 {\left( {{{\rm{e}}^x} - 2} \right){\rm{d}}x} \\= \left. {\left( {2x - {{\rm{e}}^x}} \right)} \right|_0^{\ln 2} + \left. {\left( {{{\rm{e}}^x} - 2x} \right)} \right|_{\ln 2}^1\\ = 4\ln 2 + {\rm{e}} - 5\)

Vậy \(S = 4\ln 2 + {\rm{e}} - 5\).