Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{x^2} + 1}}dx} \) có giá trị là

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{x^2} + 1}}dx} \). Ta dùng đổi biến số.

Đặt \(x = \tan t,t \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow dx = \frac{1}{{{{\cos }^2}t}}dt\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 0\\ x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4} \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dt} = \left. t \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4}\).