Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{a^2}{x^3} + ax}}{{\sqrt {a{x^2} + 1} }}dx} \), với \a \ge 0\) có giá trị là:

* Hướng dẫn giải

Ta biến đổi:

\(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{a^2}{x^3} + ax}}{{\sqrt {a{x^2} + 1} }}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{ax\left( {a{x^2} + 1} \right)}}{{\sqrt {a{x^2} + 1} }}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {ax\sqrt {a{x^2} + 1} } \right)dx} \)

Ta nhận thấy: \(\left( {a{x^2} + 1} \right)' = 2ax\). Ta dùng đổi biến số.

 Đặt \(t = a{x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2axdx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 1\\ x = 1 \Rightarrow t = a + 1 \end{array} \right.\).

\(I = \int\limits_1^{a + 1} {\frac{1}{2}tdt = \left. {\left( {\frac{1}{4}{t^2}} \right)} \right|} _1^{a + 1} = \frac{1}{4}a\left( {a + 2} \right)\).