Tích phân \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{\sqrt {\cos x} }}dx \) có giá trị là:

* Hướng dẫn giải

Ta nhận thấy: \(\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\). T dùng đổi biến số.

Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow t = \frac{1}{2}\\ x = \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{\sqrt {\cos x} }}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin x}}{{\sqrt {\cos x} }}dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{{t^2} - 1}}{{\sqrt t }}dt} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\left( {{t^{\frac{3}{2}}} - {t^{ - \frac{1}{2}}}} \right)dx = \left. {\left( {\frac{2}{5}{t^{\frac{5}{2}}} - 2{t^{\frac{1}{2}}}} \right)} \right|} _{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \frac{{19 - 17\sqrt[4]{3}}}{{\sqrt 2 }} \end{array}\)