Tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{2\ln x\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} }}{x}dx} \) có giá trị là

* Hướng dẫn giải

Ta nhận thấy: \(\left( {{{\ln }^2}x + 1} \right)' = \frac{{2\ln x}}{x}\). Ta dùng đổi biến số.

Đặt \(t = {\ln ^2}x + 1 \Rightarrow dt = \frac{{2\ln x}}{x}dx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 1\\ x = e \Rightarrow t = 2 \end{array} \right.\).

\(I = \int\limits_1^2 {\sqrt t dx} = \left. {\left( {\frac{2}{3}{t^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{{4\sqrt 2 - 2}}{3}\).