Tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt[3]{7}} {\frac{{3{x^5}}}{{\sqrt[3]{{8 - {x^3}}}}}dx} \) có giá trị là:

* Hướng dẫn giải

Ta nhận thấy: \(\left( {8 - {x^3}} \right)' = - 3{x^2}\). Ta dùng đổi biến số.

Đặt \(t = 8 - {x^3} \Rightarrow dt = - 3{x^2}dx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 8\\ x = \sqrt[3]{7} \Rightarrow t = 1 \end{array} \right.\).

Ta có:

\(I = \int\limits_0^{\sqrt[3]{7}} {\frac{{3{x^5}}}{{\sqrt[3]{{8 - {x^3}}}}}dx} = - \int\limits_0^{\sqrt[3]{7}} {\frac{{ - 3{x^2}.{x^3}}}{{\sqrt[3]{{8 - {x^3}}}}}dx} = - \int\limits_0^{\sqrt[3]{7}} {\frac{{ - 3{x^2}\left( {8 - t} \right)}}{{\sqrt[3]{{8 - {x^3}}}}}dx} \).

\( \Rightarrow I = \int\limits_8^1 {\frac{{t - 8}}{{\sqrt[3]{t}}}} dt = \int\limits_8^1 {\left( {{t^{\frac{2}{3}}} - 8.{t^{ - \frac{1}{3}}}} \right)} dt = \left. {\left( {\frac{3}{5}{t^{\frac{5}{3}}} - 12{t^{\frac{2}{3}}}} \right)} \right|_8^1 = \frac{{87}}{5}\)