Tích phân có giá trị là

* Hướng dẫn giải

Ta biến đổi: \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{9{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x\left( {9 - {{\tan }^2}x} \right)}}dx} \).

Nhận thấy: \(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\). Ta dùng đổi biến số.

Đặt \(t = \tan x \Rightarrow dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 0\\ x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1 \end{array} \right.\).

\(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{9 - {t^2}}}dt} = \frac{1}{6}\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{3 - t}} + \frac{1}{{3 + t}}} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{1}{6}\ln \left| {\frac{{3 + t}}{{3 - t}}} \right|} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{6}\ln 2\)