Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{3 + 4x}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} \) có giá trị là

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left( {3 + 3x - {x^2}} \right)' = 3 - 2x\) và \(3 + 4x = 9 - 2\left( {3 - 2x} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\frac{{3 + 4x}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\frac{{7 - 2\left( {2 - 2x} \right)}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\frac{7}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} - \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {2 - 2x} \right)}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} \end{array}\)

Xét \({I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{7}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{7}{{\sqrt {4 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} }}dx} \).

Đặt \(x - 1 = 2\sin t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = 2\cos tdt\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = - \frac{\pi }{6}\\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^0 {\frac{{14\cos t}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}dt} = \frac{{7\pi }}{6}\).

Xét \({I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {2 - 2x} \right)}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} \).

Đặt \(t = 3 + 2x - {x^2} \Rightarrow dt = \left( {2 - 2x} \right)dx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 3\\ x = 1 \Rightarrow t = 4 \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {I_2} = \int\limits_3^4 {\frac{2}{{\sqrt t }}dt} = 4\left. {\left( {{t^{\frac{1}{2}}}} \right)} \right|_3^4 = 4\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\).

\(I = {I_1} - {I_2} = \frac{{7\pi }}{6} + 4\sqrt 3 - 8\).