Tích phân \(I = \int\limits_0^3 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}dx} \) có giá trị là:

* Hướng dẫn giải

Đặt \(u = x + \sqrt {{x^2} + 9} \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow du = \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} \right)dx\\ = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 9} }}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}dx\\ = \frac{{udx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}\\ \Rightarrow \frac{{du}}{u} = \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }} \end{array}\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow u = 3\\ x = 3 \Rightarrow u = 3 + 3\sqrt 2 \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I = \int\limits_3^{3 + 3\sqrt 2 } {\frac{{du}}{u}} = \left. {\left( {\ln \left| u \right|} \right)} \right|_3^{3 + 3\sqrt 2 } = \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\).