Tích phân (I = \int\limits_1^2 {\frac{{ax - 2}}{{\sqrt {a{x^2} - 4x} }}} dx = 2\sqrt 3 - 1\). Giá trị nguyên của a là:

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left( {a{x^2} - 4x} \right)' = 2ax - 4 = 2\left( {ax - 2} \right)\).

\( \Rightarrow I = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{2ax - 4}}{{\sqrt {a{x^2} - 4x} }}} dx\).

Đặt \(t = a{x^2} - 4x \Rightarrow dt = \left( {2ax - 4} \right)dx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 \Rightarrow t = 4a - 8\\ x = 1 \Rightarrow t = a - 4 \end{array} \right.\).

\(I = \frac{1}{2}\int\limits_{a - 4}^{4a - 8} {\frac{1}{{\sqrt t }}} dt = \left. {\left( {\sqrt t } \right)} \right|_{a - 4}^{4a - 8} = \sqrt {4a - 8} - \sqrt {a - 4} \)

Theo đề bài:

\(I = 2\sqrt 3 - 1 \Leftrightarrow \sqrt[{}]{{4a - 8}} - \sqrt {a - 4} = 2\sqrt 3 - 1 \Leftrightarrow a = 5\)