Tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x\left( {2\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} + 1} \right)}}{x}dx} \) có giá trị là:

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x\left( {2\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} + 1} \right)}}{x}dx} \\= \int\limits_1^e {\frac{{2\ln x\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} }}{x}dx} + \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} \)

Xét \({I_1} = \int\limits_1^e {\frac{{2\ln x\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} }}{x}dx} \).

Đặt \(t = {\ln ^2}x + 1 \Rightarrow dt = \frac{{2\ln x}}{x}dx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 1\\ x = e \Rightarrow t = 2 \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_1^2 {\sqrt t dt = \left. {\left( {\frac{2}{3}\sqrt {{t^3}} } \right)} \right|} _1^2 = \frac{{4\sqrt 2 - 2}}{3}\).

Xét \({I_2}\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} \).

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 0\\ x = e \Rightarrow t = 1 \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {I_2} = \int\limits_0^1 {dt} = 1\).

\(\Rightarrow I = {I_1} + {I_2} = \frac{{4\sqrt 2 + 1}}{3}\).