Tích phân \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x - \sin x}}{{\left( {{e^x}\cos x + 1} \right)\cos x}}dx} \) có giá trị là:

* Hướng dẫn giải

Ta biến đổi: \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{e^x}.\left( {\cos x - \sin x} \right)}}{{\left( {{e^x}\cos x + 1} \right){e^x}\cos x}}dx} \).

Đặt \(t = {e^x}\cos x \Rightarrow dt = {e^x}\left( {\cos x - \sin x} \right)dx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow t = \frac{1}{2}{e^{\frac{\pi }{3}}}\\ x = \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow t = - \frac{1}{2}{e^{\frac{{2\pi }}{3}}} \end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} I = \int\limits_{\frac{1}{2}{e^{\frac{\pi }{3}}}}^{ - \frac{1}{2}{e^{\frac{{2\pi }}{3}}}} {\frac{1}{{t\left( {t + 1} \right)}}dt} \\ = \left. {\left( {\ln \left| {\frac{t}{{t + 1}}} \right|} \right)} \right|_{\frac{1}{2}{e^{\frac{\pi }{3}}}}^{ - \frac{1}{2}{e^{\frac{{2\pi }}{3}}}}\\ = \ln \left| {\frac{{{e^{\frac{{2\pi }}{3}}}}}{{{e^{\frac{{2\pi }}{3}}} - 2}}} \right| - \ln \left| {\frac{{{e^{\frac{\pi }{3}}}}}{{{e^{\frac{\pi }{3}}} + 2}}} \right|\\ = \ln \left| {\frac{{{e^{\frac{\pi }{3}}}\left( {{e^{\frac{\pi }{3}}} + 2} \right)}}{{{e^{\frac{{2\pi }}{3}}} - 2}}} \right| \end{array}\)