Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\ln \left( {\sqrt {1 + {x^2}} - x} \right)dx} \) có giá trị là:

* Hướng dẫn giải

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln \left( {\sqrt {1 + {x^2}} - x} \right)\\ dv = dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}dx\\ v = x \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I = \left. {\left( {x.\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)} \right)} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \).

Xét \({I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \).

Đặt \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 1\\ x = 1 \Rightarrow t = 2 \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {I_1} = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{1}{{\sqrt t }}} dt = \left. {\left( {\sqrt t } \right)} \right|_1^2 = \sqrt 2 - 1\).

\(\Rightarrow I = {I_1} + \left. {\left( {x.\ln \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)} \right)} \right|_0^1 = \sqrt 2 - 1 + \ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\).