Tích phân \(I = \int\limits_1^a {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} + 3x}}} dx = \frac{1}{3}\ln \frac{7}{2}\). Giá trị của a là:

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(I = \int\limits_1^a {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} + 3x}}} dx \Rightarrow \frac{1}{3}\int\limits_4^{{a^3} + 3a} {\frac{1}{t}dt} = \frac{1}{3}\left. {\left( {\ln \left| t \right|} \right)} \right|_4^{{a^3} + 3a} = \frac{1}{3}\ln \frac{{{a^3} + 3a}}{4}\), với \(t = {x^3} + 3x\).

Theo đề bài:

\(\frac{1}{3}\ln \frac{{{a^3} + 3a}}{4} = \frac{1}{3}\ln \frac{7}{2} \\\Leftrightarrow {a^3} + 3a - 14 = 0 \\\Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {{a^2} + 2a + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a = 2\)