Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng x = e.

* Hướng dẫn giải

Gọi S là diện tích cần tìm.

\(S = \int\limits_1^e {\left| {x\ln x} \right|} dx = \int\limits_1^e {x\ln xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{dx}}{x}\\ v = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right.\)

\(S = \int\limits_1^e {x\ln xdx = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right|_1^e} - \frac{1}{2}\int\limits_1^e {xdx} \)

\(= \left. {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right|_1^e - \left. {\frac{1}{4}{x^2}} \right|_1^e = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\)