Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x{e^x};y = 0;x = 0;x = 2\) và quay quanh trục Ox.

* Hướng dẫn giải

Gọi V là thể tích cần tìm:

\(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {x{e^x}} \right)}^2}dx = \pi \int\limits_0^2 {{x^2}{e^{2x}}dx} } \)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2xdx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\)

\(V = \left. {\frac{{\pi {x^2}{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^2 - \pi \int\limits_0^2 {x{e^{2x}}dx} = 2\pi {e^4} - \pi \int\limits_0^2 {x{e^{2x}}dx} \)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\)

\(V = 2\pi {e^4} - \pi \int\limits_0^2 {x{e^{2x}}dx = 2\pi {e^4} - \left[ {\left. {\frac{{\pi x{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^2 - \frac{\pi }{2}\int\limits_0^2 {{e^{2x}}dx} } \right]} \)

\( = 2\pi {e^4} - \left[ {\pi {e^4} - \left. {\frac{\pi }{4}{e^{2x}}} \right|_0^2} \right] = 2\pi {e^4} - \pi {e^4} + \frac{\pi }{4}\left( {{e^4} - 1} \right)\)

\( = \frac{\pi }{4}\left( {5{e^4} - 1} \right)\)