Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - 4;y = 2x - 4;x = 0;x = 2\) và quay quanh trục Ox.

* Hướng dẫn giải

Gọi V₁ là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = 2x - 4;y = 0;x = 0;x = 2\) quay quanh trục Ox.

\(\begin{array}{l} {V_1} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - 4} \right)}^2}dx = \pi \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - 16x + 16} \right)dx} } \\ = \left. {\pi \left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - 8{x^2} + 16x} \right)} \right|_0^2 = \frac{{32\pi }}{3} \end{array}\)

\( = \left. {\pi \left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - 8{x^2} + 16x} \right)} \right|_0^2 = \frac{{32\pi }}{3}\) 

Gọi V₂ là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = {x^2} - 4;y = 0;x = 0;x = 2\) quay quanh trục Ox.

\({V_2} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}dx = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^4} - 8{x^2} + 16} \right)dx} } \)

\(\begin{array}{l} {V_2} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}dx = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^4} - 8{x^2} + 16} \right)dx} } \\ = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{8{x^3}}}{3} + 16x} \right)} \right|_0^2 = \frac{{256\pi }}{{15}} \end{array}\)

Gọi V là thể tích cần tìm:

\(V = {V_2} - {V_1} = \frac{{256\pi }}{{15}} - \frac{{32\pi }}{3} = \frac{{32\pi }}{5}\)