Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 4 - {x^2};y = x + 2;x = - 2;x = 1\) và quay quanh trục Ox.

* Hướng dẫn giải

Gọi V₁ là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = x + 2;y = 0;x = - 2;x = 1\) quay quanh trục Ox

\({V_1} = \pi \int\limits_{ - 2}^1 {{{\left( {x + 2} \right)}^2}dx = \pi \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)dx} } \)

\( = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_{ - 2}^1 = 9\pi \)

Gọi V₂ là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = 4 - {x^2};y = 0;x = 1;x = 2\) quay quanh trục Ox.

\({V_2} = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^2}dx = \pi \int\limits_1^2 {\left( {{x^4} - 8{x^2} + 16} \right)dx} } \)

\( = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{8{x^3}}}{3} + 16x} \right)} \right|_1^2 = \frac{{53\pi }}{{15}}\)

Gọi V là thể tích cần tìm:

\(V = {V_2} + {V_1} = \frac{{53\pi }}{{15}} + 9\pi = \frac{{188\pi }}{{15}}\)