Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa \(f(-x)+2 f(x)=\cos x\). Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\) là

* Hướng dẫn giải

Xét tích phân \(J=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(-x) d x\) .

Đặt \(x=-t \Rightarrow d x=-d t\).

Đổi cận:\(x=-\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=\frac{\pi}{2}, x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=-\frac{\pi}{2}\).

Suy ra: \(J=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(-x) d x=-\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} f(t) d t=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(t) d t=I\)

Do đó: \(3 I=J+2 I=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[f(-x)+2 f(x)] d x=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x=2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x=2\)

Vậy \(I=\frac{2}{3}\)