Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{e^{2 x} d x}{e^{x}-1+\sqrt{e^{x}-2}}\) là

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t=\sqrt{e^{x}-2}\Rightarrow e^{x}=t^{2}+2 \Rightarrow e^{x} d x=2 t d t\)

Đổi cận: \(x=\ln 2 \Rightarrow t=0 ; x=\ln 3 \Rightarrow t=1\)

\(\begin{array}{l} I=2 \int\limits_{0}^{1} \frac{\left(t^{2}+2\right) t d t}{t^{2}+t+1}=2 \int\limits_{0}^{1}\left(t-1+\frac{2 t+1}{t^{2}+t+1}\right) d t=2 \int\limits_{0}^{1}(t-1) d t+2 \int\limits_{0}^{1} \frac{d\left(t^{2}+t+1\right)}{t^{2}+t+1} \\ =\left.\left(t^{2}-2 t\right)\right|_{0} ^{1}+\left.2 \ln \left(t^{2}+t+1\right)\right|_{0} ^{1}=2 \ln 3-1 \end{array}\)