Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2007} x}{\sin ^{2007} x+\cos ^{2007} x} d x\) là

* Hướng dẫn giải

Đặt \(x=\frac{\pi}{2}-t \Rightarrow d x=-d t\)

Đổi cận

\(x=0 \Rightarrow t=\frac{\pi}{2}, x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=0\)

Khi đó

\(I=-\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin ^{2007}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{\sin ^{2007}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\cos ^{2007}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)} d x=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2007} t}{\sin ^{2007} t+\cos ^{2007} t} d x=J(1)\)

Mặt khác \(I+J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d x=\frac{\pi}{2}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(I=\frac{\pi}{4}\)