Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 4 x}{\sqrt{\sin ^{6} x+\cos ^{6} x}} d x\) là

* Hướng dẫn giải

\(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 4 x}{\sqrt{1-\frac{3}{4} \sin ^{2} 2 x}} d x\)

Đặt \(t=1-\frac{3}{4} \sin ^{2} 2 x\Rightarrow dt=-\frac{3}{4}(4.\sin 2x. \cos 2x)dx=-\frac{3}{2}\sin 4x.dx\Rightarrow- \frac{2}{3}dt=\sin 4x. dx\)

Đổi cận: \(x=0\Rightarrow 1;x=\frac{\pi}{4}\Rightarrow t=\frac{1}{4}\)

Ta có

\(\mathrm{I}=\int\limits_{1}^{\frac{1}{4}}\left(-\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt{t}}\right) d t=\left.\frac{4}{3} \sqrt{t}\right|_{\frac{1}{4}} ^{1}=\frac{2}{3}\)