Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A\,(2;0;-2);\,\,B\,(3;-1;-4);\,\,C\,(-2;2;0).\) Điểm D nằm trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm

* Hướng dẫn giải

Vì \(D\in (Oyz)\Rightarrow D\,(0;b;c),\) do cao độ âm nên c < 0.

Khoảng cách từ D đến mặt phẳng \(\left| c \right|\) và bằng 1 \(\Rightarrow \left| c \right|=1\Rightarrow c=-1\) (do c < 0) \(\Rightarrow D\,(0;b;-1).\)

Ta có 

\(\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}=(1;-1;-2) \\ {} \overrightarrow{AC}=(-4;2;2) \\ {} \overrightarrow{AD}=(-2;b;1) \\ \end{array} \right. \\\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(2;6;-2)\\\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}=-4+6b-2=6b-6=6(b-1)\)

\(\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\left| b-1 \right|\)

Mặt khác

\({{V}_{ABCD}}=2\Leftrightarrow \left| b-1 \right|=2\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} b=3 \\ {} b=-1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} D\,(0;3;-1) \\ {} D\,(0;-1;-1) \\ \end{array} \right..\)