Trong không gian tọa độ Oxyz cho 4 điểm \(A\,(0;1;1);\,\,B\,(-1;0;2);\,\,C\,(-1;1;1);\,\,D\,(1;4;7).\) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) là:

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(-1;-1;1);\,\,\overrightarrow{AC}=(-1;0;0);\,\,\overrightarrow{AD}=(1;3;6)\)

Lại có:

\(\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 0;-1;-1 \right)\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\frac{3}{2}.\)

Mặt khác:

\({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\Rightarrow {{d}_{(D;(ABC))}}={{h}_{D}}=\frac{3V}{{{S}_{ABC}}}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}.\)