Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm: \(A\,(1;0;1);\,\,B\,(-1;1;2);\,C\,(-1;1;0);\,\,D\,(2;-1;-2).\) Tính độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A.

* Hướng dẫn giải

Thể tích tứ diện  ABCD là:

\({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\frac{1}{3}\)

Lại có:

\(\overrightarrow{BC}=(0;0;-2);\,\,\overrightarrow{BD}=(3;-2;-4)\\\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=(-4;-6;0)\)

\(\Rightarrow {{S}_{\Delta BCD}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right] \right|=\sqrt{13}\\\Rightarrow d(A,(BCD))=\frac{3{{V}_{ABCD}}}{{{S}_{\Delta BCD}}}=\frac{\sqrt{13}}{13}.\)