Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(S\left( 0;0;1 \right)\). Hai điểm \(M\left( m;0;0 \right);N\left( 0;n;0 \right)\) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0; n > 0. Bi...

* Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng (SMN) theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+z=1\).

Gọi \(P\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\)

Ta có:

\(d=d\left( P;\left( SMN \right) \right)=\frac{\left| \frac{{{x}_{0}}}{m}+\frac{{{y}_{0}}}{n}+{{z}_{0}}-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{{{m}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{2}}}+1}}.\)

Lại có

\(\frac{1}{{{m}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{2}}}+1 \\={{\left( \frac{1}{m}+\frac{1}{n} \right)}^{2}}-\frac{2}{mn}+1 \\={{\left( \frac{m+n}{mn} \right)}^{2}}-\frac{2}{mn}+1 \\={{\left( \frac{1}{mn} \right)}^{2}}-\frac{2}{mn}+1 \\={{\left( \frac{1}{mn}-1 \right)}^{2}}\)

\(d=\frac{\left| \frac{{{x}_{0}}}{m}+\frac{{{y}_{0}}}{n}+{{z}_{0}}-1 \right|}{\left| \frac{1}{mn}-1 \right|}. \)

Ta chọn \(\left\{ \begin{array} {} {{x}_{0}}=1 \\ {} {{y}_{0}}=1 \\ {} {{z}_{0}}=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow d=\frac{\left| \frac{m+n}{mn}-1 \right|}{\left| \frac{1}{mn}-1 \right|}=1\) với mọi m > 0; n > 0.

Do đó mặt cầu cần tìm là mặt cầu tâm \({{P}_{0}}\left( 1;1;0 \right)\) bán kính R = 1.