Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-6z-2=0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa trục Oy...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=16\) ⇒ (S) có tâm \(I\left( 1;2;3 \right)\) và bán kính R = 4.

Bán kính của đường tròn là: \(r=\frac{C}{2\pi }=4=R\) ⇒ đường tròn đi qua tâm của mặt cầu (S).

Vtcp của Oy là \(\overrightarrow{u}\left( 0;1;0 \right)\), điểm \(A\left( 0;1;0 \right)\in Oy.\)

Ta có: \(\overrightarrow{IA}=\left( 1;1;3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} \right]=\left( -3;0;1 \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua O và nhận \(\overrightarrow{n}\) làm vtpt suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\left( \alpha \right):3x-z=0\).