Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{-2}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2y-4z-19=0\).

* Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 1;-1;2 \right)\), bán kính R = 5. Do \(C=2\pi r\Rightarrow r=4\) do vậy mặt phẳng qua M vuông góc với d cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 4.

VTCP của d là \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;-2 \right)\) khi đó \(M\in d\Rightarrow \left( 3+2t;2+t;1-2t \right)\)

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng \(2\left( x-3-2t \right)+\left( y-2-t \right)-2\left( z-1+2t \right)=0\)

Hay \(2x+y-2z-9t-6=0\)

Ta có: \(d\left( I;\left( P \right) \right)=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=3\Leftrightarrow \frac{\left| 9t+9 \right|}{3}=3\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=0 \\ {} t=-2 \\ \end{array} \right.\)

Từ đó suy ra \(M\left( 3;2;1 \right),M\left( -1;0;5 \right)\) là các điểm cần tìm.