Cho hàm số f(x) có f(0) = 0. Biết y = f'(x) là hàm số bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số là

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {{x^4}} \right) - {x^2}\) có \(h'\left( x \right) = 4{x^3}f'\left( {{x^4}} \right) - 2x\).

\(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ f'\left( {{x^4}} \right) = \frac{1}{{2{x^2}}}{\rm{ }}\left( * \right) \end{array} \right.\)

Xét phương trình (*): Đặt \(t = {x^4}\) thì (*) thành \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{2\sqrt t }}\) với t > 0.

Dựa vào đồ thị, phương trình (*) có duy nhất một nghiệm a > 0.

Khi đó, ta được \(x = \pm \sqrt[4]{a}\).

Bảng biến thiên của hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {{x^4}} \right) - {x^2}\)

Số cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^4}} \right) - {x^2}} \right|\) bằng số cực trị của hàm \(h\left( x \right) = f\left( {{x^4}} \right) - {x^2}\) và số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình \(h\left( x \right) = 0\).

Dựa vào bảng biến thiên của hàm f(x) thì số cực trị của g(x) là 5.