Xét các số thực x, y thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức gần nhất với số nào dưới đây

* Hướng dẫn giải

Nhận xét \({x^2} + {y^2} - 2x + 2 > 0\forall x;y\)

Bất phương trình \({2^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {{x^2} + {y^2} - 2x + 2} \right){.4^x}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{2^{{x^2} + {y^2} + 1}}}}{{{2^{2x}}}} \le \left( {{x^2} + {y^2} - 2x + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2} - 2x + 1}} \le \left( {{x^2} + {y^2} - 2x + 2} \right)\)

Đặt \(t = {x^2} + {y^2} - 2x + 1\)

Bất phương trình \( \Leftrightarrow {2^t} \le t + 1 \Leftrightarrow {2^t} - t - 1 \le 0\)

Đặt \(f\left( t \right) = {2^t} - t - 1\). Ta thấy \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0\).

Ta có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 - 1\)

\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {2^t}\ln 2 = 1 \Leftrightarrow t = {\log _2}\left( {\frac{1}{{\ln 2}}} \right) \approx 0,52\)

Quan sát BBT ta thấy \(f\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le t \le 1\)

\(0 \le {x^2} + {y^2} - 2x + 1 \le 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} \le 1(1)\)

Xét \(P = \frac{{8x + 4}}{{2x - y + 1}} \Leftrightarrow 2Px - Py + P = 8x + 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow P - 4 = \left( {8 - 2P} \right)x + Py\\ \Leftrightarrow P - 4 + 2P - 8 = \left( {8 - 2P} \right)x + 2P - 8 + Py\\ \Leftrightarrow 3P - 12 = \left( {8 - 2P} \right)\left( {x - 1} \right) + Py\\ \Leftrightarrow {\left( {3P - 12} \right)^2} = {\left[ {\left( {8 - 2P} \right)\left( {x - 1} \right) + Py} \right]^2} \le \left[ {{{\left( {8 - 2P} \right)}^2} + {P^2}} \right]\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} \right] \end{array}\)

Thế (1) vào ta có \({\left( {3P - 12} \right)^2} \le \left[ {{{\left( {8 - 2P} \right)}^2} + {P^2}} \right]\)

\( \Leftrightarrow 4{P^2} - 40P + 80 \le 0\)

\( \Leftrightarrow 5 - \sqrt 5 \le P \le 5 + \sqrt 5 \)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{8 - 2P}}{P} = \frac{{x - 1}}{y} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}\\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 1 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}y\\ {\left( {\frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}y} \right)^2} = 1 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}y\\ y = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3} \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{1}{3}\\ y = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{5}{3}\\ y = \frac{{ - \sqrt 5 }}{3} \end{array} \right. \end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(5 - \sqrt 5 \approx 2,76\) gần giá trị 3 nhất.