Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD) và (...

* Hướng dẫn giải

Gọi M', N', P', Q' lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

Ta có \(AB \bot OM'\) và \(AB \bot SO\) nên \(AB \bot \left( {SOM'} \right)\).

Suy ra \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SOM'} \right)\) theo giao tuyến SM'.

Theo giả thiết ta có \(OM \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(OM \bot SM'\), do đó M là hình chiếu vuông góc của O trên SM'.

Tương tự như vậy: N, P, Q là hình chiếu vuông góc của O lần lượt trên SN', SP', SQ'.

Ta có \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{2{a^2}}}{4}} = \frac{a}{2} = OM'\).

Suy ra tam giác SOM' vuông cân tại O nên M là trung điểm của SM'.

Từ đó dễ chứng minh được MNPQ là hình vuông có tâm I thuộc SO và nằm trong mặt phẳng song song với (ABCD), với I là trung điểm của SO.

Suy ra \(OI = \frac{1}{2}OS = \frac{a}{4}\).

Do đó \(MN = \frac{1}{2}M'N' = \frac{1}{4}AC = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}\).

Thể tích khối chóp O.MNPQ bằng \(\frac{1}{3}{S_{MNPQ}}.OI = \frac{1}{3}.M{N^2}.OI = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{8}.\frac{a}{4} = \frac{{{a^3}}}{{96}}\).