Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m; n) sao cho và ứng với mỗi cặp (m;n) tồn tại đúng 3 số thực thỏa mãn ?

* Hướng dẫn giải

Ta có \(2{a^m} = n\ln \left( {a + \sqrt {{a^2} + 1} } \right) \Leftrightarrow \frac{{2{a^m}}}{n} = \ln \left( {a + \sqrt {{a^2} + 1} } \right)\).

Xét hai hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\) và \(g\left( x \right) = \frac{2}{n}{x^m}\) trên (-1;1).

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} > 0\) nên f(x) luôn đồng biến và \(f\left( { - x} \right) = \ln \left( { - x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \ln \left( {\frac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) = - \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = - f\left( x \right)\) nên f(x) là hàm số lẻ.

+ Nếu m chẵn thì g(x) là hàm số chẵn và có bảng biến thiên dạng

Suy ra phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm, do đó m lẻ.

+ Nếu m lẻ thì hàm số g(x) là hàm số lẻ và luôn đồng biến.

Ta thấy phương trình luôn có nghiệm x = 0. Dựa vào tính chất đối xứng của đồ thị hàm số lẻ, suy ra phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên (-1;1) khi có 1 nghiệm trên (0;1), hay \(f\left( 1 \right) > g\left( 1 \right) \Leftrightarrow \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right) < \frac{2}{n} \Leftrightarrow n < \frac{2}{{\ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)}} \approx 2,26 \Rightarrow n \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Đối chiếu điều kiện, với n = 1 suy ra \(m \in \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\), có 5 cặp số thỏa mãn

Với n = 2 thì \(m \in \left\{ {1;3;5;7} \right\}\) có 4 cặp số thỏa mãn.

Vậy có 9 cặp số thỏa mãn bài toán.