Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số đồng biến trên khoảng .

* Hướng dẫn giải

Tập xác định D = R.

Ta có \(y' = 4{x^3} - 12{x^2} + m + 25\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x > 1\)

\(\Leftrightarrow 4{x^3} - 12{x^2} + m + 25 \ge 0\) \(\forall x > 1\)

\( \Leftrightarrow m \ge - 4{x^3} + 12{x^2} - 25\), \(\forall x > 1\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = - 4{x^3} + 12{x^2} - 25\), với x > 1.

\(f'\left( x \right) = - 12{x^2} + 24x\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 12{x^2} + 24x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(m \ge - 4{x^3} + 12{x^2} - 25,\,\forall x > 1\)\( \Leftrightarrow m \ge - 9\).

Vì m nguyên âm nên \(m \in \left\{ { - 9;\, - 8;\, - 7;\, - 6;\, - 5;\, - 4;\, - 3;\, - 2;\, - 1} \right\}\).

Vậy có 9 giá trị nguyên âm của m để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).