Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm trên khoảng (-1;1)?

* Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(x \in R\).

Ta có phương trình \(f(x + 1) - \frac{{{m^2}}}{{{x^2} + 3x + 5}} = 0\) ⇔ \(f(x + 1) = \frac{{{m^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + \left( {x + 1} \right) + 3}}\) (1).

Đặt t = x + 1, khi đó \( - 1 < x < 1 \Leftrightarrow 0 < t < 2\).

Phương trình (1) trở thành \(f(t) = \frac{{{m^2}}}{{{t^2} + t + 3}} \Leftrightarrow ({t^2} + t + 3)f(t) = {m^2}\) (2).

Xét hàm số \(g(t) = ({t^2} + t + 3)f(t)\) trên khoảng (0,2).

g'(t) = (2t+1).f(t) + (t² +t +3)f'(t)

Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} f(t) > 0,\forall t \in \left( {0,2} \right)\\ {f'}(t) > 0;\forall t \in \left( {0,2} \right) \end{array} \right.\).

Mặt khác: \(2t + 1 > 0,{t^2} + t + 3 > 0,\forall t \in \left( {0.2} \right)\). Suy ra \({g'}(t) > 0,\forall t \in \left( {0,2} \right)\).

Và \(\left\{ \begin{array}{l} g(0) = 3.f(0) = 0\\ g(2) = 9.f(2) = 36 \end{array} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm số y = g(x) trên khoảng (0;2).

Phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left( { - 1,1} \right)\) khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm \(t \in \left( {0,2} \right)\) ⇔ 0 < m² < 36.  

Mà m nguyên nên \(m \in \left\{ { \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5} \right\}\).

Vậy có 10 giá trị của tham số m thỏa mãn bài toán.