Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số nghịch biến trên R?

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(f'\left( x \right) = - {x^2} - 2mx + 2m - 3\)

Hàm số \(f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - m + 2\) nghịch biến trên R khi và chỉ khi

\(f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow - {x^2} - 2mx + 2m - 3 \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ \Delta {'_{f'\left( x \right)}} \le 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\\ {\left( { - m} \right)^2} - \left( { - 1} \right)(2m - 3) \le 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le m \le 1\)

Vì \(m \in Z\) nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\)