Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm trên hai điểm M, N thuộc hai nhánh của đồ thị sao cho MN nhỏ nhất. Khi đó độ dài của MN bằng

* Hướng dẫn giải

\(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1 + \frac{2}{{x - 1}}\)

Gọi \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\). Vì hai điểm M, N thuộc hai nhánh của đồ thị nên \({x_1} < 1 < {x_2}\)

Đặt \({x_1} = 1 - a,{x_2} = 1 + b\), điều kiện a > 0,b > 0

Khi đó ta có : \(M{N^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{a} + \frac{2}{b}} \right)^2}\). Suy ra \(M{N^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\left( {1 + \frac{4}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : \(M{N^2} \ge {\left( {2\sqrt {ab} } \right)^2}.\frac{4}{{ab}}\) suy ra \(M{N^2} \ge 16\). Vậy \(MN \ge 4\). Dấu bằng xảy ra \(\left\{ \begin{array}{l} a = b\\ 1 = \frac{4}{{{a^2}{b^2}}} \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt 2 \)

Hay \(M\left( {1 - \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right)\) và \(N\left( {1 + \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\)