Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng 4.

* Hướng dẫn giải

Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông SAB.

Gọi SA = l là đường sinh, OA = R là bán kính và SO = h là đường cao của hình nón đã cho.

Gọi I là trung điểm của AB và K là hình chiếu của O lên SI.

Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện là \(\left( {\widehat {\,SO\,;\,\left( {SAB} \right)\,}} \right) = \widehat {\,OSK\,} = 30^\circ \).

Tam giác SAB vuông cân tại S nên \({S_{SAB}} = \frac{1}{2}.S{A^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}{l^2} = 4 \Rightarrow l = 2\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow AB = l.\sqrt 2 = 4 \Rightarrow \) Đường trung tuyến \(SI = \frac{1}{2}.AB = \frac{1}{2}.4 = 2\).

Tam giác SOI vuông tại O: \(\cos \widehat {OSI} = \frac{{SO}}{{SI}} \Rightarrow SO = SI.\cos 30^\circ = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \Rightarrow h = \sqrt 3 \).

Ta có: \(R = \sqrt {{l^2} - {h^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt 5 \).

Vậy thể tích của khối nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi .5.\sqrt 3 = \frac{{5\sqrt 3 \pi }}{3}\).