Cho các số thực a, b, c thuộc khoảng và thỏa mãn . Giá trị của biểu thức bằng

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\log _{\sqrt a }^2b + {\log _b}c.{\log _b}\left( {\frac{{{c^2}}}{b}} \right) + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b\)

\( \Leftrightarrow 4\log _a^2b + {\log _b}c.\left( {2{{\log }_b}c - {{\log }_b}b} \right) + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b\)

\( \Leftrightarrow 4\log _a^2b + 2\log _b^2c - {\log _b}c + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _a}b = x\\ {\log _b}c = y \end{array} \right.\) (x , y > 0 vì a, b, c > 1).

Ta có \({\log _a}c = {\log _a}b.{\log _b}c = xy\).Thay vào (*) ta được: \(4{x^2} + 2{y^2} - y + 9xy = 4x\).

\( \Leftrightarrow 4{x^2} + xy + 8xy + 2{y^2} - \left( {4x + y} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {4x + y} \right)\left( {x + 2y - 1} \right) = 0\) 

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x + y = 0\,\,\left( L \right)\\ x + 2y = 1 \end{array} \right.\)

Vậy \({\log _a}b + {\log _b}{c^2} = {\log _a}b + 2{\log _b}c = x + 2y = 1\).