Cho phương trình với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc .

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = {\log _3}x\), với \(x \ge 27 \Rightarrow t \ge 3\).

Phương trình trở thành \(\sqrt {{t^2} - 4t - 5} = m\left( {t + 1} \right).\) (*)

Điều kiện xác định: \(\left[ \begin{array}{l} t \le - 1\\ t \ge 5 \end{array} \right.\).

+) Với m < 0 thì phương trình vô nghiệm, do \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{t^2} - 4t - 5} \ge 0\\ t + 1 > 0 \end{array} \right.,\forall t \ge 5.\)

+) Với m = 0, ta có \(\sqrt {{t^2} - 4t - 5} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 1\,\,\,(l)\\ t = 5\,\,\,\,(n) \end{array} \right.\)

+) Với m > 0 thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 4t - 5 = {m^2}{\left( {t + 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left( {1 - {m^2}} \right){t^2} - \left( {2{m^2} + 4} \right)t - 5 - {m^2} = 0\). (**)

Nếu \(m = 1 \Rightarrow t = - 1\) không thỏa mãn.

Nếu m khác 1, ta có (**) \( \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left[ {\left( {1 - {m^2}} \right)t - {m^2} - 5} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 1\,\,\,(l)\\ t = \frac{{{m^2} + 5}}{{1 - {m^2}}} \end{array} \right.\).

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 5}}{{1 - {m^2}}} \ge 5 \Leftrightarrow \frac{{6{m^2}}}{{1 - {m^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\), kết hợp m > 0 suy ra 0 < m < 1.

Vậy với \(0 \le m < 1\) thì phương trình đã cho có nghiệm thuộc \([27;\, + \infty )\).