Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thoả mãn và f(0) = -2. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình f(x) = 0 có giá trị là

* Hướng dẫn giải

Ta có \(f'\left( x \right) - f\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){e^x} \Leftrightarrow \left[ {f'\left( x \right) - f\left( x \right)} \right].{e^{ - x}} = 2x + 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f'\left( x \right).{e^{ - x}} + f\left( x \right).{\left( {{e^{ - x}}} \right)^\prime } = 2x + 1 \Leftrightarrow {\left( {f\left( x \right).{e^{ - x}}} \right)^\prime } = 2x + 1\\ \Rightarrow f\left( x \right).{e^{ - x}} = \int {\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} \Rightarrow f\left( x \right).{e^{ - x}} = {x^2} + x + C(1) \end{array}\)

Do f(0) = -2 nên từ (1) ta có \(- 2.{e^0} = {0^2} + 0 + C \Rightarrow C = - 2\).

\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = \left( {{x^2} + x - 2} \right).{e^x}\\ f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x - 2} \right).{e^x} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \end{array}\)

Vậy tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình f(x) = 0 là 1 - 2 =  - 1.