Cho hàm số . Tìm tập hợp tất cả các số thực m để hàm số đồng biến trên R.

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y' = 3m{x^2} + 6mx + 3.\)

Hàm số đồng biến trên \(R \Leftrightarrow y' \ge 0,\,\,\,\,\forall \,x \in R.\)

Với m = 0, ta có \(y' = 3 > 0\,\forall x \in R.\) Nên m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m khác 0, ta có \(y' \ge 0\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta ' \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ 9{m^2} - 9m \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ 0 \le m \le 1 \end{array} \right.\)

Vậy \(0 \le m \le 1\) thì hàm số đồng biến trên R.