Cho hai hàm số và có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2020;2020] để (C1) và (C2) cắt nhau tại 2 điểm phân bi...

* Hướng dẫn giải

Xét phương trình \({x^6} + 6{x^4} + 6{x^2} + 1 = {x^3}\sqrt {m - 15x} \left( {m + 3 - 15x} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^3} + 6x + \frac{6}{x} + \frac{1}{{{x^3}}} = \sqrt {m - 15x} \left( {m + 3 - 15x} \right)\) (Do x = 0 không là nghiệm)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} + 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = {\left( {\sqrt {m - 15x} } \right)^3} + 3\sqrt {m - 15x} \,\,\left( * \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0,\,\,\forall t \in R\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = f\left( {\sqrt {m - 15x} } \right)\)

\( \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = \sqrt {m - 15x} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ m = {x^2} + 15x + \frac{1}{{{x^2}}} + 2 \end{array} \right.\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} + 15x + \frac{1}{{{x^2}}} + 2\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 2x + 15 - \frac{2}{{{x^3}}} = \frac{{2{x^4} + 15{x^3} - 2}}{{{x^3}}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^3} + 8{x^2} + 4x + 2} \right)}}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

Từ bảng biến thiên ta có (C₁) và (C₂) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow m > \frac{{55}}{4}\).

Do m nguyên và \(m \in \left[ { - 2020;\,2020} \right]\) nên \(m \in \left\{ {14,15,...,2020} \right\}\). Vậy có 2007 giá trị của m.