Cho hai số thực x; y thỏa mãn . Gọi S là tập hợp tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của biểu thức không vượt quá 10. Hỏi S có bao nhiêu tập con kh...

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l} {\log _{\sqrt 3 }}({y^2} + 8y + 16) + {\log _2}\left[ {(5 - x)\left( {1 + x} \right)} \right] = 2{\log _3}\frac{{5 + 4x - {x^2}}}{3} + {\log _2}{(2y + 8)^2}\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}{(y + 4)^2} + {\log _2}\left[ {5 + 4x - {x^2}} \right] = 2{\log _3}\left( {5 + 4x - {x^2}} \right) + {\log _2}{(y + 4)^2}\\ \Leftrightarrow {\log _3}{(y + 4)^2} = {\log _3}\left( {5 + 4x - {x^2}} \right) \Leftrightarrow {(y + 4)^2} = \left( {5 + 4x - {x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 8y + 11 = 0 \end{array}\)

Ta có \({x^2} + {y^2} + 11 = 4\left( {x - 2y} \right) \le 4\sqrt {\left( {{1^2} + {2^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\sqrt 5 - 3 \le \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le 2\sqrt 5 + 3\\ \Rightarrow 2\sqrt 5 - 3 - m \le \sqrt {{x^2} + {y^2}} - m \le 2\sqrt 5 + 3 - m\\ \Rightarrow P = \max \left\{ {\left| {2\sqrt 5 - 3 - m} \right|;\left| {2\sqrt 5 + 3 - m} \right|} \right\} = \left| {2\sqrt 5 - m} \right| + 3 \le 10\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 5 - 7 \le m \le 2\sqrt 5 + 7 \end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { \pm 2; \pm 1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11} \right\}\) có 14 phần tử và S có tất cả \({2^{14}} - 1 = 16383\) tập con khác rỗng.